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模拟简单物体二维运动和预测位置

预测数学式

想象一下你正坐在一辆汽车里，在雾中行驶。 你几乎看不到路，但你有一个 GPS 系统可以告诉你你的速度和位置。 问题是，这个 GPS 并不完美； 它有时会产生噪音或不准确的读数。 您如何知道您的实际位置以及行驶速度？

卡尔曼滤波器提供了答案。它结合了：

1. 系统（您的汽车）根据其模型预测什么（称为预测步骤）。
2. 它接收到的噪声测量结果（在这个类比中是 GPS 读数）产生的估计值在统计上比预测或测量本身更可靠。

卡尔曼滤波器主要有两个步骤：

预测：
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =Ax+Bu\\ P^{\prime }& =A{P}_{k-1}{A}^T+Q\end{array}$$

• $x^{\prime }$是预测状态。
• $A$是状态转换模型。
• $B$是控制输入模型。
• $u$是控制向量。
• $P^{\prime }$是预测估计协方差。
• $Q$是过程噪声协方差。

更新：
$$\begin{array}{rl}y& =z-Hx\\ S& =H{P}^{\prime }{H}^T+R\\ K& =P^{\prime }{H}^T{S}^{-1}\\ x& =x^{\prime }+Ky\\ P& =(I-KH)P^{\prime }\end{array}$$

• $y$是残值
• $z$是测量值
• $H$是观测模型
• $S$是协方差
• $R$是测量噪声协方差
• $K$是卡尔曼增益
• $x$是是更新后的状态估计
• $P$是是更新后的估计协方差

代码处理

安装OpenCV和Matplotlib。

使用 OpenCV 实现卡尔曼滤波器

OpenCV 提供了一个方便的 KalmanFilter 类，让我们可以实现卡尔曼滤波器，而不必陷入数学细节的困境。 在本演示中，我们将模拟对象的简单 2D 运动并使用卡尔曼滤波器来估计其位置。

让我们首先初始化 2D 运动的卡尔曼滤波器。

# Initialize the Kalman filter
kalman_2d = cv2.KalmanFilter(4, 2)
kalman_2d.measurementMatrix = np.array([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0]], np.float32)
kalman_2d.transitionMatrix = np.array([[1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]], np.float32)
kalman_2d.processNoiseCov = np.array([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]], np.float32) * 1e-4

代码释义：

• 我们系统的状态由 4x1 矩阵表示：$[x,y,\dot{x},\dot{y}]$ ，其中 $x$ 和 $y$ 是二维坐标，并且 $\dot{x}$ 和 $\dot{y}$ 分别表示 x 和 y 方向的速度。
• measurementMatrix 将状态与测量联系起来。在我们的例子中，我们只测量位置，而不测量速度.。
• TransitionMatrix 表示状态转换模型。为简单起见，我们假设速度恒定。
• processNoiseCov 代表与我们的流程相关的噪声。

模拟物体运动和可视化

我们将模拟一个沿直线移动的物体，并在其测量中添加一些噪声。当物体移动时，我们将应用卡尔曼滤波器来估计其真实位置。

• 我们有 200 个预测状态，每个状态都用一个矩阵表示。
• 我们还有 200 个噪声测量，每个都由一个2*1 矩阵表示。

让我们可视化对象的真实路径、噪声测量值以及卡尔曼滤波器估计的路径。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.set_xlim(0, 4 * np.pi)
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.set_title("Kalman Filter in 2D Motion Estimation")
ax.set_xlabel("X Position")
ax.set_ylabel("Y Position")# Plotting the true path, noisy measurements, and Kalman filter estimations
ax.plot(true_path[:, 0], true_path[:, 1], 'g-', label="True Path")
ax.scatter(np.array(measurements)[:, 0], np.array(measurements)[:, 1], c='red', s=20, label="Noisy Measurements")
ax.plot(np.array(predictions)[:, 0, 0], np.array(predictions)[:, 1, 0], 'b-', label="Kalman Filter Estimation")
ax.legend()
plt.show()

代码释义：

• **True Path：**这是对象所采取的实际路径（尽管我们在现实场景中没有这个路径）。
• **Noisy Measurements：**这些是我们从传感器获得的读数，这些读数被噪声破坏了。
• **Kalman Filter Estimations：**这些是卡尔曼滤波器估计的位置，理想情况下应该接近真实路径。

这是我们模拟的 2D 运动的可视化：

预测真实物体的轨迹

跟踪视频人物

二维对象跟踪

源代码

参阅一 - 亚图跨际

参阅二 - 亚图跨际