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概念

Adam（Adaptive Moment Estimation）是一种优化算法，结合了动量梯度下降法和RMSProp的优点，用于在训练神经网络等深度学习模型时自适应地调整学习率。Adam算法在深度学习中广泛应用，通常能够加速收敛并提高模型性能。

Adam算法综合了动量（momentum）和均方梯度的移动平均（RMSProp）来更新模型参数。与传统的梯度下降法不同，Adam维护了一个每个参数的动量变量和均方梯度的移动平均变量，并在每个迭代步骤中使用这些变量来调整学习率。

步骤

1初始化参数：初始化模型的参数。

2初始化动量变量和均方梯度的移动平均：初始化动量变量为零向量，初始化均方梯度的移动平均为零向量。

3计算梯度：计算当前位置的梯度。

4更新动量变量：计算动量变量的移动平均。

momentum = beta1 * momentum + (1 - beta1) * gradient

其中，beta1 是用于计算动量变量移动平均的超参数。
5更新均方梯度的移动平均：计算均方梯度的移动平均。

moving_average = beta2 * moving_average + (1 - beta2) * gradient^2

其中，beta2 是用于计算均方梯度的移动平均的超参数
6修正偏差
对动量变量和均方梯度的移动平均进行偏差修正，以减轻初始迭代的影响。

corrected_momentum = momentum / (1 - beta1^t)
corrected_moving_average = moving_average / (1 - beta2^t)

7更新参数

parameter = parameter - learning_rate * corrected_momentum / (sqrt(corrected_moving_average) + epsilon)

其中，epsilon 是一个小的常数，防止分母为零。

8重复迭代：重复执行步骤 3 到 7，直到达到预定的迭代次数（epochs）或收敛条件。

代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据
np.random.seed(0)
X = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)# 添加偏置项
X_b = np.c_[np.ones((100, 1)), X]# 初始化参数
theta = np.random.randn(2, 1)# 学习率
learning_rate = 0.1# Adam参数
beta1 = 0.9
beta2 = 0.999
epsilon = 1e-8
momentum = np.zeros_like(theta)
moving_average = np.zeros_like(theta)# 迭代次数
n_iterations = 1000# Adam优化
for iteration in range(n_iterations):gradients = 2 / 100 * X_b.T.dot(X_b.dot(theta) - y)momentum = beta1 * momentum + (1 - beta1) * gradientsmoving_average = beta2 * moving_average + (1 - beta2) * gradients**2corrected_momentum = momentum / (1 - beta1**(iteration+1))corrected_moving_average = moving_average / (1 - beta2**(iteration+1))theta = theta - learning_rate * corrected_momentum / (np.sqrt(corrected_moving_average) + epsilon)# 绘制数据和拟合直线
plt.scatter(X, y)
plt.plot(X, X_b.dot(theta), color='red')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('y')
plt.title('Linear Regression