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【力扣】2127. （分类讨论 + 拓扑排序）参加会议的最多员工数

1. 题目介绍

一个公司准备组织一场会议，邀请名单上有 n 位员工。公司准备了一张 圆形 的桌子，可以坐下 任意数目 的员工。

• 要求：员工编号为 0 到 n - 1 。每位员工都有一位 喜欢 的员工，每位员工当且仅当他被安排在喜欢员工的旁边，他才会参加会议。每位员工喜欢的员工 不会 是他自己。

• 给你一个下标从 0 开始的整数数组 favorite ，其中 favorite[i] 表示第 i 位员工喜欢的员工。

• 请你返回参加会议的 最多员工数目 。

示例：

• 1
  
• 2
  
• 3
  

提示：

2. 思路（分类讨论 + 拓扑排序）

首先需要简单了解一下 基环内向树。在了解了树的基础上来解释基环树——树加一条边使之成环（也就是说，在严格意义上来说，基环树并不是树，就像老婆饼没有老婆一样，基环树是个图）。首先它是一个有向图，它构成类似基环树的结构。

• 最重要的特点就是每个点都有且只有一个出度，并且环外的节点方向指向环内。
  

针对这道题，我们可以把每个员工看成图上的一个节点，如果员工 x 喜欢员工 y，就在从 x 对应的节点到 y 对应的节点连一条边，那么形成的图则是会由若干颗「基环内向树」组成，就是形如下图所示的结构：

原因如下：

• 我们从任意一个节点 x 开始在图上进行「游走」，由于每个员工只有一位喜欢的员工，因此每个节点在图上只会有一条出边，即「游走」的过程是唯一的。由于图上有 n 个节点，因此在 n+1 步以内，一定会走到一个重复的节点，那么在第一次经过该节点之后，到第二次经过该节点之前的所有节点，以及该节点本身，就组成了一个环，如上图的蓝色节点所示。
• 对于不在环上的节点，我们已经说明了从它们开始「游走」也一定会进入到环中。在到达环上的节点之前，它们不会重复经过节点（否则就有两个环了，我们可以证明一个连通分量中是不可能有两个环的：因为每个节点只有一条出边，因此如果有两个环并且它们连通，那么必然某个环上有一个点有两条出边，一条出边指向同一个环上的节点，另一条出边可以使得它到达另一个环，这就产生了矛盾），那么它们就形成了类似树的结构，如上图的绿色节点所示。
• 需要注意的是，一个单独的环也是「基环内向树」，它是一种特殊情况，即没有绿色的节点。

思路与算法：既然我们知道了图由若干颗「基环内向树」组成，那么我们只需要计算每一颗「基环内向树」的哪一部分可以被安排参加会议，就可以来接这道题目。

• 1）首先讨论特殊的情况，即一个单独的环（或若干个环），并且所有环的大小都 ≥3。可以发现，我们按照环上的顺序给对应的员工安排座位是满足要求的，因为对于每一个环上的员工，它喜欢的员工就在它的旁边。并且，我们必须安排环上的所有员工，因为如果有缺失，那么喜欢那位缺失了的员工的员工就无法满足要求了。
  • 但如果我们已经安排了某一个环上的所有员工，剩余的环就没有办法安排了。这是因为已经安排的那个环是没有办法被「断开」的：断开的本质就是相邻位置员工的缺失。因此，我们可以得出一个重要的结论：
    • 如果我们想安排大小 ≥3 的环，我们最多只能安排一个，并且环需要是完整的。
• 2）接下来是，形成的图是 环大小 ≥3 的「基环内向树」，如果我们安排了不在环上的节点，那么从该节点开始，我们需要不断安排当前节点喜欢的员工，这实际上就是「游走」的过程。
  • 而当我们游走到环上并到达环上最后一个未经过的节点时，该节点的下一个节点（即喜欢的员工）已经被安排过，所以最后一个未经过的节点就无法被安排（因为下一个节点不是他的喜欢节点），不满足要求。因此，我们不能安排任何不在环上的节点，只能安排在环上的节点，就得出了另一个的结论：
    • 所有环大小 ≥3 的「基环内向树」与一个大小相同（指环的部分）的环是等价的。
• 3）最后，需要考虑大小 =2 的环或者「基环内向树」了。
  • 这里的特殊之处在于，大小 =2 的环可以安排多个：因为环上的两个点是互相喜欢的，因此只需要它们相邻即可，而没有其它的要求。
  • 而对于环大小 =2 的「基环内向树」，如果我们安排了不在环上的节点，那么游走完环上两个节点之后，同样是满足要求的，并且我们甚至可以继续延伸（反向「游走」），到另一个不在环上的节点为止。如下图所示，包含 X 的节点就是可以安排参加会议的节点。
    
  • 并且同样地，对于每一棵环大小 =2 的「基环内向树」，我们都可以取出这样一条「双向游走」路径进行安排，它们之间不会影响。

综上所述，原问题的答案即为下面二者中的最大值：

• 最大的环的大小；
• 所有环大小 =2 的「基环内向树」上的最长的「双向游走」路径之和。

为了求解「基环内向树」上的最长的「双向游走」路径，我们可以使用拓扑排序 + 动态规划的方法。记 f[i] 表示到节点 i 为止的最长「游走」路径经过的节点个数，那么状态方程即为：

• 即我们考虑节点 i 的上一个节点 j，在图中必须有从 j 到 i 的一条有向边，这样我们就可以从 j 转移到 i。如果不存在满足要求的 j（例如「基环内向树」退化成一个大小 =2 的环），那么 f[i]=1。状态转移可以和拓扑排序同时进行。
• 在拓扑排序完成后，剩余没有被弹出过队列的节点就是环上的节点。我们可以找出每一个环。如果环的大小 ≥3，我们就用其来更新最大的环的大小；如果环的大小 =2，设环上的两个节点为 x 和 y，那么该「基环内向树」上最长的「双向游走」的路径长度就是 f[x]+f[y]。

时间复杂度：O(n)。图中有 n 个节点和 n 条边，拓扑排序需要的时间为 O(n)，后续找出所有环的时间也为 O(n)。
空间复杂度：O(n)。我们需要若干个长度为 n 的数组。

3. 解题代码

class Solution:def maximumInvitations(self, favorite: List[int]) -> int:n = len(favorite)# 统计入度，便于进行拓扑排序indeg = [0] * nfor i in range(n):indeg[favorite[i]] += 1used = [False] * nf = [1] * nq = deque(i for i in range(n) if indeg[i] == 0)while q:u = q.popleft()used[u] = Truev = favorite[u]# 状态转移f[v] = max(f[v], f[u] + 1)indeg[v] -= 1if indeg[v] == 0:q.append(v)# ring 表示最大的环的大小# total 表示所有环大小为 2 的「基环内向树」上的最长的「双向游走」路径之和ring = total = 0for i in range(n):if not used[i]:j = favorite[i]# favorite[favorite[i]] = i 说明环的大小为 2if favorite[j] == i:total += f[i] + f[j]used[i] = used[j] = True# 否则环的大小至少为 3，我们需要找出环else:u = icnt = 0while True:cnt += 1u = favorite[u]used[u] = Trueif u == i:breakring = max(ring, cnt)return max(ring, total)

4. Danger

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• 据了解到的情况，Easy题和Medium 题在面试中比较常见，通常会以手写代码之类的形式出现，您需要对问题进行分析并给出解答，并于面试官进行交流沟通，有时还会被要求分析时间复杂度8与空间复杂度°，面试官会通过您对题目的分析解答，了解您对常用算法的熟悉程度和您的程序实现功底。
• 而在一些对算法和程序实现功底要求较高的岗位，Hard 题也是很受到面试官的青睐，如果您在面试中成功Bug-Free出一道Hard题，我们相信您一定会给面试官留下很深刻的印象，并极大增加拿到Offer的概率，据相关人士统计，如果您在面试成功解出一道Hard题，拿不到Offer的概率无限接近于0。
• 所以,力扣中Easy和Medium相当于面试中的常规题，而Hard 则相当于面试中较难的题，解出—道Hard题，Offer可以说是囊中之物。

参考

【1】https://leetcode.cn/problems/maximum-employees-to-be-invited-to-a-meeting/?envType=daily-question&envId=2023-11-01
【2】https://leetcode.cn/problems/maximum-employees-to-be-invited-to-a-meeting/solutions/1190222/can-jia-hui-yi-de-zui-duo-yuan-gong-shu-u8e8u/