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本文涉及知识点

动态规划 区间dp 位运算

LeetCode100259. 划分数组得到最小的值之和

给你两个数组 nums 和 andValues，长度分别为 n 和 m。
数组的 值 等于该数组的 最后一个 元素。
你需要将 nums 划分为 m 个 不相交的连续 子数组，对于第 ith 个子数组 [li, ri]，子数组元素的按位AND运算结果等于 andValues[i]，换句话说，对所有的 1 <= i <= m，nums[li] & nums[li + 1] & … & nums[ri] == andValues[i] ，其中 & 表示按位AND运算符。
返回将 nums 划分为 m 个子数组所能得到的可能的 最小 子数组 值 之和。如果无法完成这样的划分，则返回 -1 。
示例 1：
输入： nums = [1,4,3,3,2], andValues = [0,3,3,2]
输出： 12
解释：
唯一可能的划分方法为：
[1,4] 因为 1 & 4 == 0
[3] 因为单元素子数组的按位 AND 结果就是该元素本身
[3] 因为单元素子数组的按位 AND 结果就是该元素本身
[2] 因为单元素子数组的按位 AND 结果就是该元素本身
这些子数组的值之和为 4 + 3 + 3 + 2 = 12
示例 2：

输入： nums = [2,3,5,7,7,7,5], andValues = [0,7,5]

输出： 17

解释：

划分 nums 的三种方式为：

[[2,3,5],[7,7,7],[5]] 其中子数组的值之和为 5 + 7 + 5 = 17
[[2,3,5,7],[7,7],[5]] 其中子数组的值之和为 7 + 7 + 5 = 19
[[2,3,5,7,7],[7],[5]] 其中子数组的值之和为 7 + 7 + 5 = 19
子数组值之和的最小可能值为 17

示例 3：

输入： nums = [1,2,3,4], andValues = [2]

输出： -1

解释：

整个数组 nums 的按位 AND 结果为 0。由于无法将 nums 划分为单个子数组使得元素的按位 AND 结果为 2，因此返回 -1。
提示：
1 <= n == nums.length <= 10⁴
1 <= m == andValues.length <= min(n, 10)
1 <= nums[i] < 10⁵
0 <= andValues[j] < 10⁵

动态规划的位运算

f(i,j) = $\&{=}_{x:i}^j$
vNext[cur] 记录符合以下条件之一的next：
一，next-1 < cur。
二，f(i,next) $\ne$ f(i,next-1)。
iBitCnt = log(max(nums[i]) $\approx$ 22 ，显然next的数量不会超过iBitCnt。
如果f(i,j)发生变化，至少一个二进制1变成0。

动态规划

动态规划的状态表示

dp[len][cur] 表示将nums[0…cur]划分为len个区间的最小和。
空间复杂度：O(nm)

动态规划的转移方程

r个区间向r+1个区间转移时：
如果f(cur,next) 等于 andValues[r-1]则:
MinSelf(dp[r+1][x],dp[r][cur-1]+nums[x]) x$\in [next,next的下一个值)这样值设置的时间复杂度是：$$O(m\times n\times iBitCnt\times n)$ ，超时了。
只更新：x = next，其它的用二种方式更新：
如果 (nums[cur]& andValues[r-1]) = andValues[r-1]
则MinSelf(dp[r][cur],dp[r][cur-1])
时间复杂度：$$O(m\times n\times iBitCnt)$

动态规划的初始值

枚举第一个区间

动态规范的返回值

dp.back().back()

动态规划的填表顺序

len 从1到m_r-1。
cur从1到m_c-1

代码

核心代码

template<class ELE,class ELE2>
void MinSelf(ELE* seft, const ELE2& other)
{*seft = min(*seft,(ELE) other);
}template<class ELE>
void MaxSelf(ELE* seft, const ELE& other)
{*seft = max(*seft, other);
}class Solution {
public:int minimumValueSum(vector<int>& nums, vector<int>& andValues) {const int iBitCnt = 22;m_r = andValues.size();m_c = nums.size();const int iMax = (1 << iBitCnt) - 1;vector<vector<int>> dp(m_r+1,vector<int>(m_c, m_iNotMay));int iAnd = iMax;for (int i = 0; i < m_c; i++) {iAnd &= nums[i];if (iAnd == andValues[0]) {dp[1][i] = nums[i];}}vector<set<int>> vNext(m_c);{vector<int> next(iBitCnt, m_c);for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {vNext[i] = set<int>(next.begin(), next.end());vNext[i].emplace(i);vNext[i].erase(m_c);for (int bit = 0; bit < iBitCnt; bit++){bool b = (1 << bit) & nums[i];if (!b) {next[bit] = i;}}}}for (int r = 1; r < m_r; r++){for (int cur = 1; cur < m_c; cur++){int iAdd = iMax;for (const auto& next : vNext[cur]) {iAdd &= nums[next];if (andValues[r] == iAdd) {MinSelf(&dp[r + 1][next], dp[r][cur - 1] + nums[next]);}}if ((andValues[r - 1] & nums[cur]) == andValues[r - 1]) {MinSelf(&dp[r][cur], dp[r][cur - 1]+nums[cur]-nums[cur-1]);}				}			}{int r = m_r;for (int cur = 1; cur < m_c; cur++){				if ((andValues[r - 1] & nums[cur]) == andValues[r - 1]) {MinSelf(&dp[r][cur], dp[r][cur - 1] + nums[cur] - nums[cur - 1]);}}}const int iRet = dp.back().back();return (iRet >= 1'000'000) ? -1 : iRet;}int m_r,m_c;const int m_iNotMay = 1'000'000'000;
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{vector<int>  nums, andValues;int k;{Solution sln;nums = { 1, 9, 8, 8 }, andValues = { 1,8 };auto res = sln.minimumValueSum(nums, andValues);Assert(9, res);}{Solution sln;nums = { 1, 3, 2, 4, 7, 5, 3 }, andValues = { 0, 5, 3 };auto res = sln.minimumValueSum(nums, andValues);Assert(12, res);}{Solution sln;nums = { 1, 4, 3, 3, 2 }, andValues = { 0, 3, 3, 2 };auto res = sln.minimumValueSum(nums, andValues);Assert(12, res);}//vector<int>  nums = { 3,6,9 };//int k;////{//	Solution sln;//	nums = { 3,6,9 }, k = 3;//	auto res = sln.findKthSmallest(nums, k);//	Assert(9LL, res);//}}

扩展阅读

视频课程

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。