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前向传播

前向传播计算图

反向传播

训练神经网络

小结

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我们已经学习了如何用小批量随机梯度下降训练模型。 然而当实现该算法时，我们只考虑了通过前向传播（forward propagation）所涉及的计算。 在计算梯度时，我们只调用了深度学习框架提供的反向传播函数，而不知其所以然。

梯度的自动计算（自动微分）大大简化了深度学习算法的实现。 在自动微分之前，即使是对复杂模型的微小调整也需要手工重新计算复杂的导数， 学术论文也不得不分配大量页面来推导更新规则。 本节将通过一些基本的数学和计算图， 深入探讨反向传播的细节。 首先，我们将重点放在带权重衰减（L2正则化）的单隐藏层多层感知机上。

前向传播

前向传播（forward propagation或forward pass） 指的是：按顺序（从输入层到输出层）计算和存储神经网络中每层的结果。

我们将一步步研究单隐藏层神经网络的机制， 为了简单起见，我们假设输入样本是 x∈Rd， 并且我们的隐藏层不包括偏置项。 这里的中间变量是：

其中W(1)∈Rh×d 是隐藏层的权重参数。 将中间变量z∈Rh通过激活函数ϕ后， 我们得到长度为h的隐藏激活向量：

隐藏变量h也是一个中间变量。 假设输出层的参数只有权重W(2)∈Rq×h， 我们可以得到输出层变量，它是一个长度为q的向量：

假设损失函数为l，样本标签为y，我们可以计算单个数据样本的损失项，

 根据L2正则化的定义，给定超参数λ，正则化项为

其中矩阵的Frobenius范数是将矩阵展平为向量后应用的L2范数。 最后，模型在给定数据样本上的正则化损失为：J=L+s.

在下面的讨论中，我们将J称为目标函数（objective function）。

前向传播计算图

绘制计算图有助于我们可视化计算中操作符和变量的依赖关系。下图是与上述简单网络相对应的计算图， 其中正方形表示变量，圆圈表示操作符。 左下角表示输入，右上角表示输出。 注意显示数据流的箭头方向主要是向右和向上的。

 

反向传播

反向传播（backward propagation或backpropagation）指的是计算神经网络参数梯度的方法。 简言之，该方法根据微积分中的链式规则，按相反的顺序从输出层到输入层遍历网络。 该算法存储了计算某些参数梯度时所需的任何中间变量（偏导数）。 假设我们有函数Y=f(X)和Z=g(Y)， 其中输入和输出X,Y,Z是任意形状的张量。 利用链式法则，我们可以计算Z关于X的导数

 

在这里，我们使用prod运算符在执行必要的操作（如换位和交换输入位置）后将其参数相乘。 对于向量，这很简单，它只是矩阵-矩阵乘法。 对于高维张量，我们使用适当的对应项。 运算符prod指代了所有的这些符号。

回想一下，在计算上图中的单隐藏层简单网络的参数是 W(1)和W(2)。 反向传播的目的是计算梯度∂J/∂W(1)和 ∂J/∂W(2)。 为此，我们应用链式法则，依次计算每个中间变量和参数的梯度。 计算的顺序与前向传播中执行的顺序相反，因为我们需要从计算图的结果开始，并朝着参数的方向努力。第一步是计算目标函数J=L+s相对于损失项L和正则项s的梯度。

接下来，我们根据链式法则计算目标函数关于输出层变量o的梯度： 

接下来，我们计算正则化项相对于两个参数的梯度：

现在我们可以计算最接近输出层的模型参数的梯度 ∂J/∂W(2)∈Rq×h。 使用链式法则得出： 

 

 为了获得关于W(1)的梯度，我们需要继续沿着输出层到隐藏层反向传播。 关于隐藏层输出的梯度∂J/∂h∈Rh由下式给出：

 由于激活函数ϕ是按元素计算的， 计算中间变量z的梯度∂J/∂z∈Rh 需要使用按元素乘法运算符，我们用⊙表示：

 

 最后，我们可以得到最接近输入层的模型参数的梯度 ∂J/∂W(1)∈Rh×d。 根据链式法则，我们得到：

训练神经网络

在训练神经网络时，前向传播和反向传播相互依赖。 对于前向传播，我们沿着依赖的方向遍历计算图并计算其路径上的所有变量。 然后将这些用于反向传播，其中计算顺序与计算图的相反。

以上述简单网络为例：一方面，在前向传播期间计算正则项 取决于模型参数W(1)和 W(2)的当前值。 它们是由优化算法根据最近迭代的反向传播给出的。 另一方面，反向传播期间参数的梯度计算， 取决于由前向传播给出的隐藏变量h的当前值。

因此，在训练神经网络时，在初始化模型参数后， 我们交替使用前向传播和反向传播，利用反向传播给出的梯度来更新模型参数。 注意，反向传播重复利用前向传播中存储的中间值，以避免重复计算。 带来的影响之一是我们需要保留中间值，直到反向传播完成。 这也是训练比单纯的预测需要更多的内存（显存）的原因之一。 此外，这些中间值的大小与网络层的数量和批量的大小大致成正比。 因此，使用更大的批量来训练更深层次的网络更容易导致内存不足（out of memory）错误。

 

小结

• 前向传播在神经网络定义的计算图中按顺序计算和存储中间变量，它的顺序是从输入层到输出层。

• 反向传播按相反的顺序（从输出层到输入层）计算和存储神经网络的中间变量和参数的梯度。

• 在训练深度学习模型时，前向传播和反向传播是相互依赖的。

• 训练比预测需要更多的内存。